Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j , y = r sin j . (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = j i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

D rj = rj+1 - rj,

D j i = j i+1 - j i

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjD j i и D rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

D Si = rj D j i D rj (3)

Что касается ячеек D Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки D Sij с полярными координатами rj и j i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos j i, yij = rj sin j i.

И следовательно,

f (xij, yij) = f (rj cos j i, rj sin j i) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

(4)

где d — максимальный диаметр ячеек D Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины j i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Oj r. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f (r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D j i и D ri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) — однозначные непрерывные функции на отрезке [a ,b ]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F (r,j) = rf (r cosj, r sinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S — первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О (0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j =0,

j =p /4, r cosj =1 и,